問題詳情:
兩個直角邊爲6的全等的等腰和按如圖1所示的位置放置,與重合,與重合.
(1)如圖1中,求、、三點的座標;
(2)固定不動,沿軸以每秒2個單位長的速度向右運動,當點運動到與點重合時停止,設運動秒後和重疊部分面積爲,求與之間的函數關係式;
(3)當以(2)中的速度和方向運動,運動時間秒時運動到如圖2所示的位置,求經過、、三點的拋物線的解析式;
(4)現有一半徑爲2,圓心在(3)中的拋物線上運動的動圓,試問在運動過程中,是否存在與軸或軸相切的情況?若存在,請求出的座標;若不存在,請說明理由.
【回答】
(1),,;(2)當時,;當時,;(3)、、
【解析】
(1)主要考查線段與座標的轉化,答題的關鍵是把握座標軸上橫座標或縱座標的特殊*;(2)主要考查運動變化及分類討論,而分類的依據是重疊部分多邊形形狀,即時,重疊部分的多邊形是五邊形;當時,重疊部分的多邊形是三角形.問題(3)通常將、、三點的座標代入構造方程組求解;問題(4)主要考查分類討論及圓的切線的*質,應注意討論分別與軸、軸相切的兩種情況.
【詳解】
解:(1)∵和均爲等腰直角三角形且直角邊長爲6,∵.∴,,.
(2)當時,位置如圖3所示,作,垂足爲,可知:,,,,所以;
當時,位置如圖4所示,可知,所以.
綜上,當時,;當時,.
(3)如圖4中,當時,,,所以,,所以可知、、.設經過、、三點的拋物線的解析式爲.∵拋物線過,∴.∵拋物線過點、,∴,解得:,,∴.
(4)當在運動過程中,存在與座標軸相切的情況.設點座標爲.當與軸相切時,有,,由,得,所以,由,得,所以,當與軸相切時,有,因爲,所以,得,所以.
綜上所述,符合條件的圓心有三個,其座標分別是:、、.
【點睛】
本題以等腰直角三角形爲載體,以平移變換爲切入點,情景自然流暢,入口寬,但考查內容覆蓋面廣,含有線段與座標的轉化、面積探究、拋物線的解析式、圓與直線的位置關係等知識,突出對數形結合、待定係數法、分類討論、函數與方程、化歸法等重要的數學思想方法的考查,是一道以“能力立意”的綜合*壓軸題.
知識點:點和圓、直線和圓的位置關係
題型:解答題