问题详情：
如图，动圆C1：x2＋y2＝t2,1<t<3，与椭圆C2：
＋y2＝1
相交于A，B，C，D四点，点A1，A2分别为C2的左，右顶点．
(1)当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积．
(2)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程．
【回答】
解 (1)设A(x0，y0)，则S矩形ABCD＝4|x0y0|，
由
＋y
＝1得y
＝1－，
从而xy＝x
＝－
2＋
.
当x＝
，y＝
时，Smax＝6.
从而t2＝x＋y＝5，t＝
，
∴当t＝
时，矩形ABCD的面积取到最大值6.
(2)由椭圆C2：
＋y2＝1，知A1(－3,0)，A2(3,0)，
又曲线的对称*及A(x0，y0)，得B(x0，－y0)，
设点M的坐标为(x，y)，
直线AA1的方程为y＝
(x＋3)．①
直线A2B的方程为y＝
(x－3)．②
由①②得y2＝
③
又点A(x0，y0)在椭圆C上，故y＝1－.④
将④代入③得－y2＝1(x<－3，y<0)．
因此点M的轨迹方程为
－y2＝1(x<－3，y<0)．
知识点：圆锥曲线与方程
题型：解答题
