問題詳情：
已知函數f(x)＝x－k2＋k＋2(k∈Z)滿足f(2)<f(3)．
(1)求k的值並求出相應的f(x)的解析式；
(2)對於(1)中得到的函數f(x)，試判斷是否存在q>0，使函數g(x)＝1－qf(x)＋(2q－1)x在區間[－1,2]上的值域為[－4，
]？若存在，求出q；若不存在，請説明理由．
【回答】
(1)∵f(2)<f(3)，
∴f(x)在第一象限是增函數．
故－k2＋k＋2>0，解得－1<k<2.
又∵k∈Z，∴k＝0或k＝1.
當k＝0或k＝1時，－k2＋k＋2＝2，
∴f(x)＝x2.
(2)假設存在q>0滿足題設，由(1)知
g(x)＝－qx2＋(2q－1)x＋1，x∈[－1,2]．
∵g(2)＝－1，∴兩個最值點只能在端點(－1，g(－1))和頂點(
，
)處取得．
而
－g(－1)＝
－(2－3q)＝
≥0，
∴g(x)max＝＝
，
g(x)min＝g(－1)＝2－3q＝－4.
q＝2.∴存在q＝2滿足題意．
知識點：*與函數的概念
題型：解答題
