問題詳情：
如圖，AB是⊙O的直徑，D、E為⊙O上位於AB異側的兩點，連接BD並延長至點C，使得CD=BD，連接AC交⊙O於點F，連接AE、DE、DF．
（1）*：∠E=∠C；
（2）若∠E=55°，求∠BDF的度數；
（3）設DE交AB於點G，若DF=4，cosB=
，E是弧AB的中點，求EG•ED的值．
【回答】
（1）見解析；（2）∠BDF=110°；（3）18
【分析】
（1）直接利用圓周角定理得出AD⊥BC，勁兒利用線段垂直平分線的*質得出AB=AC，即可得出∠E=∠C；
（2）利用圓內接四邊形的*質得出∠AFD=180°﹣∠E，進而得出∠BDF=∠C+∠CFD，即可得出*；
（3）根據cosB=
，得出AB的長，再求出AE的長，進而得出△AEG∽△DEA，求出*即可．
【詳解】
解：（1）*：連接AD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC，
∵CD=BD，
∴AD垂直平分BC，
∴AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵∠B=∠E，
∴∠E=∠C；
（2）解：∵四邊形AEDF是⊙O的內接四邊形，
∴∠AFD=180°﹣∠E，
又∵∠CFD=180°﹣∠AFD，
∴∠CFD=∠E=55°，
又∵∠E=∠C=55°，
∴∠BDF=∠C+∠CFD=110°；
（3）解：連接OE，
∵∠CFD=∠E=∠C，
∴FD=CD=BD=4，
在Rt△ABD中，cosB=
，BD=4，
∴AB=6，
∵E是
的中點，AB是⊙O的直徑，
∵∠AOE=90°，且AO=OE=3，
∴AE=
，
∵E是
的中點，
∴∠ADE=∠EAB，
∴△AEG∽△DEA，
∴
，
即EG•ED=
=18．
【點睛】
此題主要考查了圓的綜合題、圓周角定理以及相似三角形的判定與*質以及圓內接四邊形的*質等知識，根據題意得出AE，AB的長是解題關鍵．
知識點：正多邊形和圓
題型：解答題
