问题详情:
已知函数f(x)是R上的偶函数,它在[0,+∞)上是减函数,若f(lnx)>f(1),则x的取值范围是( )
A.(e﹣1,1) B.(0,e﹣1)∪(1,+∞) C.(e﹣1,e) D.(0,1)∪(e,+∞)
【回答】
C【考点】3N:奇偶*与单调*的综合.
【分析】当lnx>0时,因为f(x)在区间[0,+∞)上是减函数,所以f(lnx)>f(1)等价于lnx<1; 当lnx<0时,﹣lnx>0,结合函数f(x)是定义在R上的偶函数,得f(lnx)>f(1)等价于f(﹣lnx)>f(1).x=1时,lnx=0,f(lnx)>f(1)成立.由此能求出x的取值范围.
【解答】解:∵函数f(x)是R上的偶函数,
在[0,+∞)上是减函数,f(lnx)>f(1),
∴当lnx>0时,因为f(x)在区间[0,+∞)上是减函数,
所以f(lnx)>f(1)等价于lnx<1,解得1<x<e;
当lnx<0时,﹣lnx>0,结合函数f(x)是定义在R上的偶函数,
得f(lnx)>f(1)等价于f(﹣lnx)>f(1),
由函数f(x)在区间[0,+∞)上是减函数,得到﹣lnx<1,即lnx>﹣1,
解得e﹣1<x<1.
当x=1时,lnx=0,f(lnx)>f(1)成立.
综上所述,e﹣1<x<e.
∴x的取值范围是:(e﹣1,e).
知识点:*与函数的概念
题型:选择题