問題詳情：
如圖所示，
、
、
爲三個質點，的質量遠遠大於、的質量，
和
的質量相等。已知
、之間，
、之間存在相互吸引力。、之間存在相互排斥力，三個把質點在相互間引力或斥力的作用下運動，如果作用力合適，可以存在一種如下形式的運動：
A、
、
的相對位置固定，它們構成一個平面，三個質點繞着位於這個平面內的某條軸勻速轉動；因爲質點的質量遠遠大於、的質量，可認爲該軸過質點且固定不動；連線
與轉軸的夾角
與連線
與轉軸的夾角
不相等，且
，
。
若之間吸引力的大小
，之間吸引力的大小爲
，其中
、
分別爲、與、之間的距離，
爲比例係數，不計重力的影響。試問
的值在什麼範圍內，上述運動才能實現？
【回答】
解法1：
以
表示質點
的質點，
表示連線
與豎直方向的夾角，
表示轉動角速度，
表示間排斥力的大小。根據牛頓定律有
， （1）
， （2）
， （3）
。 （4）
由（1）、（3）兩式並利用（2）、（4）兩式可得
。 （5）
考慮到幾何關係
（6）
並利用已知
和的表示式。可由（5）得到
（7）
又，由（2）、（4）式可得
。 （8）
帶入已知的
和
的表達式可得
。 （9）
聯立（7）、（9）從而有
。 （10）
如果
，則意味着方程
（11）
在
區間有兩個不同的解，其中
爲某一合適的常數。這要求函數
在區間不能是單調函數，也就是說
和
不能同時爲單調增函數或單調減函數。因此當
增大時，若增大，則應減小；反之，若
減小，則
應增大，故
與
同號。因此有
（12）
。 （13）
對
，可知
在
及
時均爲零，因此
在
區間一定存在極值點，意味着方程（11）在
合適選取的情況下必有兩個或兩個以上的不同解。對
亦然。因此條件（12）、（13）是符合題意要求的充分必要條件。
評分標準：（1）~（4）式各1分，（6）式1分，（10）式6分，（12）、（13）式及其以下說明共4分。
解法2：
如圖，設、間的排斥力是
，它們受到
的吸引力分別是、
，向心力分別是
、
，距離
分別是
、
；根據三角形的相似關係，有
， （1a）
。 （2a）
以上兩式相比可得
（3a）
依題意有
， （4a）
， （5a）
， （6a）
將（4a）~（6a）代入（3a）得
。 （7a）
由（7a）得
。 （8a）
之後的討論與“參考解答1”相同。
評分標準：考慮“參考解答1”。
知識點：物理競賽
題型：綜合題
