問題詳情：
如圖，AB是⊙O的直徑，點E爲線段OB上一點（不與O，B重合），作EC⊥OB，交⊙O於點C，作直徑CD，過點C的切線交DB的延長線於點P，作AF⊥PC於點F，連接CB．
（1）求*：AC平分∠FAB；
（2）求*：BC2=CE•CP；
（3）當AB=4
且
=
時，求劣弧
的長度．
【回答】
（1）∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠BCP+∠ACF=90°，∠ACE+∠BCE=90°，
∵∠BCP=∠BCE，
∴∠ACF=∠ACE，
∵∠AFC=90°，∠AEC=90°，
∴∠FAC=∠EAC，
即AC平分∠FAB；
（2）∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∵PF是⊙O的切線，CE⊥AB，
∴∠OCP=∠CEB=90°，
∴∠PCB+∠OCB=90°，∠BCE+∠OBC=90°，
∴∠BCE=∠BCP，
∵CD是直徑，
∴∠CBD=∠CBP=90°，
∴△CBE∽△CPB，
∴
，
∴BC2=CE•CP；
（3）如圖，作BM⊥PF於M．則CE=CM=CF，
設CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a，
∵∠MCB+∠P=90°，∠P+∠PBM=90°，
∴∠MCB=∠PBM，
∵CD是直徑，BM⊥PC，
∴∠CMB=∠BMP=90°，
∴△BMC∽△PMB，
∴
，
∴BM2=CM•PM=3a2，
∴BM=
a，
∴tan∠BCM=
，
∴∠BCM=30°，
∴∠OCB=∠OBC=∠BOC=60°，∠BOD=120°，
∴
的長=
．
【點睛】本題考查了切線的*質、圓周角定理、相似三角形的判定與*質、解直角三角形的應用等，綜合*較強，有一定的難度，正確添加輔助線，熟練掌握和靈活應用相似三角形的判定與*質定理是解題的關鍵.
知識點：各地中考
題型：解答題
