問題詳情：
某工廠共有10臺機器,生產一種儀器元件,由於受生產能力和技術水平等因素限制,會產生一定數量的次品.根據經驗知道,每臺機器產生的次品數P(萬件)與每臺機器的日產量x(萬件)(4≤x≤12)之間滿足關係:P=0.1x2-3.2lnx+3.已知每生產1萬件合格的元件可以盈利2萬元,但每產生1萬件次品將虧損1萬元.(利潤=盈利-虧損)
(1)試將該工廠每天生產這種元件所獲得的利潤y(萬元)表示爲x的函數.
(2)當每臺機器的日產量x(萬件)爲多少時所獲得的利潤最大,最大利潤爲多少?
【回答】
【解析】(1)由題意得,所獲得的利潤爲y=10[2(x-P)-P]=20x-3x2+96lnx-90(4≤x≤12).
(2)由(1)知,y′=
=
當4≤x<6時,y′>0,函數在[4,6]上爲增函數;當6<x≤12時,y′<0,函數在[6,12]上爲減函數,
所以當x=6時,函數取得極大值,且爲最大值,最大利潤爲y=20×6-3×62+96ln6-90=96ln6-78(萬元)
答:當每臺機器的日產量爲6萬件時所獲得的利潤最大,最大利潤爲96ln6-78萬元.
知識點：導數及其應用
題型：解答題
