問題詳情：
我們常見的炒菜鍋和鍋蓋都是拋物面，經過鍋心和蓋心的縱斷面是由兩段拋物線組合而成的封閉圖形，不妨簡稱爲“鍋線”．鍋口直徑爲6dm，鍋深3dm，鍋蓋高1dm（鍋口直徑與鍋蓋直徑視爲相同），建立直角座標系如圖1所示，如果把鍋縱斷面的拋物線記爲C1，把鍋蓋縱斷面的拋物線記爲C2．
（1）求C1和C2的解析式；
（2）如圖2，過點B作直線BE：y=
x﹣1交C1於點E（﹣2，﹣
），連接OE、BC，在x軸上求一點P，使以點P、B、C爲頂點的△PBC與△BOE相似，求出P點的座標；
（3）如果（2）中的直線BE保持不變，拋物線C1或C2上是否存在一點Q，使得△EBQ的面積最大？若存在，求出Q的座標和△EBQ面積的最大值；若不存在，請說明理由．
【回答】
解：（1）由題意A（﹣3，0），B（3，0），C（0，1），D（0，﹣3）
設拋物線記爲C2的解析式爲y=ax2+c，
把B（3，0），C（0，﹣1）代入得到
，解得
，
∴拋物線記爲C2的解析式爲y=﹣
x2+1，
同法可得拋物線記爲C1的解析式爲y=
x2﹣3．
（2）∵y=
x﹣1交C1於點E（﹣2，﹣
），
∴BE=
=
，
設直線BE與y軸的交點爲F，
由y=x﹣1，可得F（0，﹣1），
∵OF=OC=1，OB=OB，∠BOC=∠BOF，
∴△BOC≌△BOF，
∴∠OBC=∠EOB，
因此可能存在兩種情形，設P（x，0），
①當△PBC∽△OBE時，
=
，即
=
，解得x=
，
∴點P座標爲（
，0）．
②當△PBC∽△EBO時，
=
，即
=
，解得x=﹣
，
∴點P座標爲（﹣
，0）．
③∵∠OBC≠∠AOE，
∴不存在點P在點B右側的情形，
綜上所述，滿足條件的點P座標（
，0）或（﹣
，0）．
（3）要使△EBQ的面積最大，則點Q到直線BE的距離最大時，過點Q的直線與直線BE平行，且與拋物線只有一個交點．
①如圖1中，當點Q在C1上時，
設與拋物線只有一個交點的直線爲y=x+b，則點Q（x， x+b），代入y=
x2﹣3，得到x2﹣3=
x+b，整理得x2﹣x﹣9﹣3b=0，
∵△=0，
∴1﹣4（﹣9﹣3b）=0，
∴b=﹣
，
∴y=
x﹣
，
由
，解得
，
∴Q（
，﹣
），
過Q作x軸的垂線交直線BE於M，
把x=
代入y=
x﹣1，可得M（
，﹣
），
∴MQ=﹣
﹣（﹣）=
，
∴△EBQ面積的最大值爲
×
×（2+3）=
．
②如圖2中，當Q在C2上時，
設與拋物線只有一個交點的直線爲y=
x+b′，則Q（x，
x+b′），代入y=﹣
x2+1，可得x2+3x﹣9+9b′=0，
∵△=0，
∴9﹣4（9b′﹣9）=0，
∴b′=
，
∴y=x+
，與y=﹣
x2+1聯列方程組，解得Q（﹣
，
），連接EQ，交x軸於N．
易知直線QE的解析式爲y=
x+8，
∴N（﹣
，0），
∴BN=3﹣（﹣
）=
，
∴△QEB的面積最大值爲×
×[
﹣（﹣
）]=
=
，
∵
＞
，
∴△EBQ的面積的最大值爲，此時Q（﹣
，
）．
知識點：相似三角形
題型：綜合題
