問題詳情：
直線MN與直線PQ垂直相交於O，點A在直線PQ上運動，點B在直線MN上運動．
（1）如圖1，已知AE、BE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線，點A、B在運動的過程中，
∠AEB的大小是否會發生變化？若發生變化，請說明變化的情況；若不發生變化，試求出
∠AEB的大小．
（2）如圖2，已知AB不平行CD，AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線，又DE、CE分別是∠ADC和∠BCD的角平分線，點A、B在運動的過程中，∠CED的大小是否會發生變化？若發生變化，請說明理由；若不發生變化，試求出其值．
（3）如圖3，延長BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分線與∠BOQ的角平分線及延長線相交於E、F，在△AEF中，如果有一個角是另一個角的3倍，試求∠ABO的度數．（8分）
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【回答】
解：（1）∠AEB的大小不變，
∵直線MN與直線PQ垂直相交於O，
∴∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∵AE、BE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線，
∴∠BAE=
∠OAB，∠ABE=
∠ABO，
∴∠BAE+∠ABE=
（∠OAB+∠ABO）=45°，
∴∠AEB=135°；
（2）∠CED的大小不變．
延長AD、BC交於點F．
∵直線MN與直線PQ垂直相交於O，
∴∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠PAB+∠MBA=270°，
∵AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線，
∴∠BAD=
∠BAP，∠ABC=
∠ABM，
∴∠BAD+∠ABC=
（∠PAB+∠ABM）=135°，
∴∠F=45°，
∴∠FDC+∠FCD=135°，
∴∠CDA+∠DCB=225°，
∵DE、CE分別是∠ADC和∠BCD的角平分線，
∴∠CDE+∠DCE=112.5°，
∴∠E=67.5°；
（3）∵∠BAO與∠BOQ的角平分線相交於E，
∴∠EAO=
∠BAO，∠EOQ=
∠BOQ，
∴∠E=∠EOQ﹣∠EAO=
（∠BOQ﹣∠BAO）=
∠ABO，
∵AE、AF分別是∠BAO和∠OAG的角平分線，
∴∠EAF=90°．
在△AEF中，
∵有一個角是另一個角的3倍，故有：
①∠EAF=3∠E，∠E=30°，∠ABO=60°；
②∠EAF=3∠F，∠E=60°，∠ABO=120°；
③∠F=3∠E，∠E=22.5°，∠ABO=45°；
④∠E=3∠F，∠E=67.5°，∠ABO=135°．
∴∠ABO為60°或45°．
知識點：與三角形有關的角
題型：綜合題
