问题详情:
如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+6的图象交x轴于A、B两点,交y轴于点D,点C为抛物线的顶点,且A、B两点的横坐标分别为1和3.
(1)写出A、B两点的坐标;
(2)求二次函数的解析式;
(3)在(2)的抛物线上,是否存在一点P,使得∠BAP=45°?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【回答】
解:(1)∵二次函数y=ax2+bx+6的图象交x轴于A、B两点,且A、B两点的横坐标分别为1和3,
∴A(1,0),B(3,0);
(2)由(1)知,A(1,0),B(3,0),
∵二次函数y=ax2+bx+6的图象交x轴于A、B两点,
∴,
∴,
∴二次函数的解析式为y=2x2﹣8x+6;
(3)假设存在点P,设直线AP的解析式为y=mx+n,
∵∠BAP=45°,
∴|m|=1,
当点P在x轴上方时,m=1,
∵A(1,0),
∴直线AP的解析式为y=x﹣1①,
∵点P在抛物线y=2x2﹣8x+6②上,
∴联立①②得,
∴(舍去)或,
∴P(,),
当点P在x轴下方时,m=﹣1,
∵A(1,0),
∴直线AP的解析式为y=﹣x+1③,
联立②③得,
∴(舍)或,
∴P(,﹣),
即:P(,)或(,﹣).
知识点:实际问题与二次函数
题型:解答题