问题详情：
点A、B、C、D在同一个球的球面上，AB=BC=AC=，若四面体ABCD体积的最大值为，则这个球的表面积为（ ）
A． B．8π C． D．
【回答】
C【考点】球的体积和表面积．
【专题】综合题；空间位置关系与距离．
【分析】根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．
【解答】解：根据题意知，△ABC是一个等边三角形，其面积为，外接圆的半径为1．
小圆的圆心为Q，若四面体ABCD的体积的最大值，由于底面积S△ABC不变，高最大时体积最大，
所以，DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为S△ABC×DQ=，
∴DQ=4，
设球心为O，半径为R，
则在直角△AQO中，OA2=AQ2+OQ2，即R2=12+（4﹣R）2，∴R=
则这个球的表面积为：S=4π（）2=
故选C．
【点评】本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体ABCD的体积的最大值，是解答的关键．
知识点：球面上的几何
题型：选择题
