问题详情:
已知椭圆C的离心率为,长轴的左、右端点分别为,.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线与椭圆C交于P,Q两点,直线,交于S,试问:当m变化时,点S是否恒在一条定直线上?若是,请写出这条直线的方程,并*你的结论;若不是,请说明理由.
【回答】
(1)(2)点S恒在定直线l:上,*见解析
【分析】
(1)设椭圆C的方程为,可得的值,再根据,可得的值,由此能求出椭圆C的方程; (2)取,得,,进而得到直线和直线的方程,联立求出他们的交点坐标.若,,由对称*可知的坐标,若点在同一条直线上,则直线只能为l:,然后*当变化时,点S在直线上.
【详解】
解:(1)设椭圆C的方程为,
,,,,
椭圆C的方程为;
(2)取,得,,
直线的方程是,直线的方程是,交点为.
若,,
由对称*可知,
若点S在同一条直线上,则直线只能为l:.
以下*对于任意的m,直线与的交点S均在直线l:上,
事实上,由,
得,
记,,
则,,
记与l交于点,
由,得,
设与交于点,
由,得,
,
,即与重合,
这说明,当m变化时,点S恒在定直线l:上.
【点睛】
本题考查直线与圆锥曲线的位置关系的综合运用,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价变换是解题的关键,是中档题.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题