問題詳情：
如圖，在正方形ABCD中，點E，F分別是邊AD，BC的中點，連接DF，過點E作EH⊥DF，垂足為H，EH的延長線交DC於點G．
（1）猜想DG與CF的數量關係，並*你的結論；
（2）過點H作MN∥CD，分別交AD，BC於點M，N，若正方形ABCD的邊長為10，點P是MN上一點，求△PDC周長的最小值．
【回答】
（1）結論：CF=2DG，理由見解析；（2）△PCD的周長的最小值為10+2
．
【分析】
（1）結論：CF=2DG．只要*△DEG∽△CDF即可；
（2）作點C關於NM的對稱點K，連接DK交MN於點P，連接PC，此時△PDC的周長最短．周長的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK.
【詳解】
（1）結論：CF=2DG．
理由：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=BC=CD=AB，∠ADC=∠C=90°，
∵DE=AE，
∴AD=CD=2DE，
∵EG⊥DF，
∴∠DHG=90°，
∴∠CDF+∠DGE=90°，∠DGE+∠DEG=90°，
∴∠CDF=∠DEG，
∴△DEG∽△CDF，
∴
=
=
，
∴CF=2DG．
（2）作點C關於NM的對稱點K，連接DK交MN於點P，連接PC，
此時△PDC的周長最短．周長的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK．
由題意：CD=AD=10，ED=AE=5，DG=
，EG=
，DH=
=
，
∴EH=2DH=2
，
∴HM=
=2，
∴DM=CN=NK=
=1，
在Rt△DCK中，DK=
=
=2
，
∴△PCD的周長的最小值為10+2
．
【點睛】
本題考查正方形的*質、軸對稱最短問題、相似三角形的判定和*質、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會理由軸對稱解決最短問題，屬於中考常考題型．
知識點：相似三角形
題型：解答題
