问题详情：
若抛物线L：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，abc≠0）与直线l都经过y轴上的一点P，且抛物线L的顶点Q在直线l上，则称此直线l与该抛物线L具有“一带一路”关系．此时，直线l叫做抛物线L的
“带线”，抛物线L叫做直线l的“路线”．
（1）若直线y=mx+1与抛物线y=x2﹣2x+n具有“一带一路”关系，求m，n的值；
（2）若某“路线”L的顶点在反比例函数y=
的图象上，它的“带线”l的解析式为y=2x﹣4，求此“路线”L的解析式；
（3）当常数k满足
≤k≤2时，求抛物线L：y=ax2+（3k2﹣2k+1）x+k的“带线”l与x轴，y轴所围成的三角形面积的取值范围．
【回答】
解：（1）令直线y=mx+1中x=0，则y=1，
即直线与y轴的交点为（0，1）；
将（0，1）代入抛物线y=x2﹣2x+n中，
得n=1．
∵抛物线的解析式为y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，
∴抛物线的顶点坐标为（1，0）．
将点（1，0）代入到直线y=mx+1中，
得：0=m+1，解得：m=﹣1．
答：m的值为﹣1，n的值为1．
（2）将y=2x﹣4代入到y=
中有，
2x﹣4=
，即2x2﹣4x﹣6=0，
解得：x1=﹣1，x2=3．
∴该“路线”L的顶点坐标为（﹣1，﹣6）或（3，2）．
令“带线”l：y=2x﹣4中x=0，则y=﹣4，
∴“路线”L的图象过点（0，﹣4）．
设该“路线”L的解析式为y=m（x+1）2﹣6或y=n（x﹣3）2+2，
由题意得：﹣4=m（0+1）2﹣6或﹣4=n（0﹣3）2+2，
解得：m=2，n=﹣
．
∴此“路线”L的解析式为y=2（x+1）2﹣6或y=﹣
（x﹣3）2+2．
（3）令抛物线L：y=ax2+（3k2﹣2k+1）x+k中x=0，则y=k，
即该抛物线与y轴的交点为（0，k）．
抛物线L：y=ax2+（3k2﹣2k+1）x+k的顶点坐标为（﹣
，
），
设“带线”l的解析式为y=px+k，
∵点（﹣
，
）在y=px+k上，
∴
=﹣p+k，
解得：p=
．
∴“带线”l的解析式为y=
x+k．
令“带线”l：y=
x+k中y=0，则0=
x+k，
解得：x=﹣
．
即“带线”l与x轴的交点为（﹣
，0），与y轴的交点为（0，k）．
∴“带线”l与x轴，y轴所围成的三角形面积S=
|﹣
|×|k|，
∵
≤k≤2，
∴
≤
≤2，
∴S=
=
=
，
当
=1时，S有最大值，最大值为
；
当
=2时，S有最小值，最小值为
．
故抛物线L：y=ax2+（3k2﹣2k+1）x+k的“带线”l与x轴，y轴所围成的三角形面积的取值范围为
≤S≤
．
知识点：二次函数与一元二次方程
题型：综合题
