问题详情:
如图1,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,﹣2),顶点为D,对称轴交x轴于点E.
(1)求该二次函数的解析式;
(2)设M为该抛物线对称轴左侧上的一点,过点M作直线MN∥x轴,交该抛物线于另一点N.是否存在点M,使四边形DMEN是菱形?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)连接CE(如图2),设点P是位于对称轴右侧该抛物线上一点,过点P作PQ⊥x轴,垂足为Q.连接PE,请求出当△PQE与△COE相似时点P的坐标.
【回答】
解:(1)设抛物线解析式为y=a(x+1)(x﹣3),
将点C(0,﹣2)代入,得:﹣3a=﹣2,
解得a=,
则抛物线解析式为y=(x+1)(x﹣3)=x2﹣x﹣2;
(2)∵y=x2﹣x﹣2=(x﹣1)2﹣,
∴顶点D(1,﹣),即DE=,
∵四边形DMEN是菱形,
∴点M的纵坐标为﹣,
则x2﹣x﹣2=﹣,
解得x=1±,
∵M为该抛物线对称轴左侧上的一点,
∴x<1,
则x=1﹣,
∴点M坐标为(1﹣,﹣);
(3)∵C(0,﹣2),E(1,0),
∴OC=2,OE=1,
如图,设P(m, m2﹣m﹣2)(m>1),
则PQ=|m2﹣m﹣2|,EQ=m﹣1,
①若△COE∽△PQE,则=,即=,
解得m=0(舍)或m=5或m=2或m=﹣3(舍),
此时点P坐标为(5,8)或(2,﹣2);
②若△COE∽△EQP,则=,即=,
解得m=(负值舍去)或m=,
此时点P的坐标为(,)或(,);
综上,点P的坐标为(5,8)或(2,﹣2)或(,)或(,).
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:综合题