問題詳情：
在等腰
中，
，點D，E在*線
上，
，過點E作
，交*線
於點F．請解答下列問題：
（1）當點E在線段
上，
是
的角平分線時，如圖①，求*：
；（提示：延長
，
交於點M．）
（2）當點E在線段
的延長線上，
是
的角平分線時，如圖②；當點E在線段
的延長線上，
是
的外角平分線時，如圖③，請直接寫出線段
，
，
之間的數量關係，不需要*；
（3）在（1）、（2）的條件下，若
，則
___________．
【回答】
（1）見解析；（2）BC=AE+CF或AE=CF+BC；（3）18或6．
【解析】（1）延長
，
交於點M．利用AAS*
，得到ME=BC，並利用角平分線加平行的模型*CF=MF，AE=EF，從而得*；
（2）延長
，EF交於點M．類似於（1）的方法可*當點E在線段
的延長線上，
是
的角平分線時，BC=AE+CF，當點E在線段
的延長線上，
是
的外角平分線時，AE=CF+BC；
（3）先求出AE，AB，即可利用線段的和差求出*．
【詳解】（1）如圖①，延長
，
交於點M．
∵
，
∴∠A=∠BCA=∠EFA，
∴AE=EF
∴
∴∠MED=∠B， ∠M=∠BCD
又∵∠FCM=∠BCM，
∴∠M=∠FCM
∴CF=MF
又∵BD=DE
∴
∴ME=BC
∴CF=MF=ME+EF=BC+AE
即AE+BC=CF；
（2）當點E在線段
的延長線上，
是
的角平分線時，BC=AE+CF，
如圖②，延長
，EF交於點M．
由①同理可*
，
∴ME=BC
由①*過程同理可得出MF=CF，AE=EF，
∴BC=ME=EF+MF=AE+CF；
當點E在線段
的延長線上，
是
的外角平分線時，AE=CF+BC.
如圖③，延長
交EF於點M，
由上述*過程易得
，BC=EM，
CF=FM，
又∵AB=BC，
∴∠ACB=∠CAB=∠FAE
∵
∴∠F=∠FCB，
∴EF=AE，
∴AE=FE=FM+ME=CF+BC
（3）CF=18或6
當DE=2AE=6時，圖①中，由（1）得：AE=3，BC=AB=BD+DE+AE=15，
∴CF=AE+BC=3+15=18；
圖②中，由（2）得：AE=AD=3，BC=AB=BD+AD=9，
∴CF=BC-AE=9-3=6；
圖③中，DE小於AE，故不存在．
故*爲18或6．
【點睛】本題是考查了角平分線、平行線和等腰三角形及全等三角形的綜合題，關鍵是添加恰當的輔助線，構建角平分線加平行的模型，是一道較好的中考真題．
知識點：三角形全等的判定
題型：解答題
