問題詳情：
從
年底開始，非洲東部的肯尼亞等國家爆發出了一場嚴重的蝗蟲災情.目前，蝗蟲已抵達烏干達和坦桑尼亞，並向西亞和南亞等地區蔓延.蝗蟲危害大，主要危害禾本科植物，能對農作物造成嚴重傷害，每隻蝗蟲的平均產卵數
和平均溫度
有關，現收集了以往某地的
組數據，得到下面的散點圖及一些統計量的值.
平均溫度 |
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平均產卵數 |
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個
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表中
，
.
（1）根據散點圖判斷，
與
（其中
爲自然對數的底數）哪一個更適宜作爲平均產卵數
關於平均溫度
的迴歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）並由判斷結果及表中數據，求出
關於
的迴歸方程.（結果精確到小數點後第三位）
（2）根據以往統計，該地每年平均溫度達到
以上時蝗蟲會造成嚴重傷害，需要人工防治，其他情況均不需要人工防治，記該地每年平均溫度達到
以上的概率爲
.
①記該地今後
年中，恰好需要
次人工防治的概率爲
，求
取得最大值時相應的概率
；
②根據①中的結論，當
取最大值時，記該地今後
年中，需要人工防治的次數爲
，求
的數學期望和方差.
附：對於一組數據
、
、
、
，其迴歸直線
的斜率和截距的最小二乘法估計分別爲：
，
.
【回答】
（1）
更適宜；
；（2）①
；②
，
.
【解析】
【分析】
（1）利用圖象可得出
更適宜作爲平均產卵數
關於平均溫度
的迴歸類型，對
，兩邊取自然對數，求出
關於
的迴歸方程，進而可得出
關於
的迴歸方程；
（2）①對函數
求導數，利用導數判斷該函數的單調*，求出函數取最值時對應的
的值；
②由
取最大值時對應的
的值，得出
，由二項分佈的數學期望和方差公式可得出
、
的值.
【詳解】
（1）由散點圖可以判斷，
更適宜作爲平均產卵數
關於平均溫度
的迴歸類型，
對
兩邊取自然對數得
，令
，
，
，則
.
因爲
，
，
所以，
關於
的迴歸方程爲
，
所以，
關於
的迴歸方程爲
；
（2）①由
，
，
且
，當
時，
；當
時，
.
所以，函數
在區間
上單調遞增，在區間
上單調遞減，
所以，函數
在
處取得極大值，亦即最大值，
；
②由①可知，當
時，
取最大值，
又
，則
，由題意可知
，
，
.
【點睛】
本題考查非線*迴歸方程的求解，考查了利用導數求函數的最值，同時也考查了利用二項分佈求隨機變量的數學期望和方差，考查計算能力，屬於中等題.
知識點：導數及其應用
題型：解答題
