如圖，在7×7網格中，每個小正方形邊長都爲1．建立適當的平面直角座標系，使點A（3，4）、C（4，2）．（1）...

問題詳情：

如圖，在7×7網格中，每個小正方形邊長都爲1．建立適當的平面直角座標系，使點A（3，4）、C（4，2）．

（1）判斷△ABC的形狀，並求圖中格點△ABC的面積；

（2）在x軸上有一點P，使得PA+PC最小，則PA+PC的最小值爲__________．

【回答】

（1）直角三角形，面積是5（2）

【分析】

（1）首先根據A和C的座標確定座標軸的位置，然後確定B的座標，再利用勾股定理的逆定理即可作出判斷，再根據直角三角形的面積公式即可求解；

（2）作點C關於x軸的對稱點C′連接AC′交x軸與點P，連接PC，依據軸對稱圖形的*質可得到PC＝PC′，然後依據兩點之間線段最短可知當點A，P，C′在一條直線上時，AP＋PC有最小值．

【詳解】

（1）如圖，建立直角座標系，

∴B的座標是（0，0）．

∵AC2＝22＋12＝5，BC2＝22＋42＝20，AB2＝42＋32＝25，

∴AC2＋BC2＝AB2，

∴△ABC是直角三角形，BC=，AC=

∴S△ABC=BC×AC=××=5；

（2）如圖所示：作點C關於x軸的對稱點C′連接AC′交x軸與點P，連接PC．

∵點C與點C′關於x軸對稱，

∴PC＝PC′．

∴AP＋PC＝AP＋PC．

∴當A，P，C′在一條直線上時，AP＋PC有最小值，最小值爲AC′的長．

∵AC′＝．

∴AP＋PC的最小值爲．

故*爲：．

【點睛】

本題主要考查的是軸對稱路徑最短問題、勾股定理的應用，勾股定理的逆定理的應用，明確點A，P，C′在一條直線上時，AP＋PC有最小值是解題的關鍵．

知識點：勾股定理

題型：解答題