問題詳情:
某種電路開關閉合後,會出現紅燈或綠燈閃動,已知開關第一次閉合後,出現紅燈和綠燈的概率都是,從開關第二次閉合起,若前次出現紅燈,則下次出現紅燈的概率是,出現綠燈的概率是;若前次出現綠燈,則下次出現紅燈的概率是,出現綠燈的概率是,記開關第n次閉合後出現紅燈的概率爲。
(1)求: ; (2)求*:;
【回答】
解:(1)第二次閉合後出現紅燈的概率P2的大小決定於兩個互斥事件:即第一次紅燈後第二次又是紅燈;第一次綠燈後第二次纔是紅燈。於是P2=P1·+(1-P1)·=。 …………(4分)
(2)受(1)的啓發,研究開關第N次閉合後出現紅燈的概率Pn,要考慮第n-1次閉合後出現綠燈的情況,有
Pn=Pn-1·+(1-Pn-1)·=-Pn-1+,
再利用待定係數法:令Pn+x=-(Pn-1+x)整理可得x=-
∴{Pn-}爲首項爲(P1-)、公比爲(-)的等比數列
Pn-=(P1-)(-)n-1=(-)n-1,Pn=+(-)n-1
∴當n≥2時,Pn<+=
知識點:概率
題型:選擇題