問題詳情：
如圖，已知BC⊥AC，圓心O在AC上，點M與點C分別是AC與⊙O的交點，點D是MB與⊙O的交點，點P是AD延長線與BC的交點，且
=
．
（1）求*：PD是⊙O的切線；
（2）若AD=12，AM=MC，求
的值．
【回答】
【解答】（1）*：連接OD、OP、CD．
∵
=
，∠A=∠A，
∴△ADM∽△APO，
∴∠ADM=∠APO，
∴MD∥PO，
∴∠1=∠4，∠2=∠3，
∵OD=OM，
∴∠3=∠4，
∴∠1=∠2，
∵OP=OP，OD=OC，
∴△ODP≌△OCP，
∴∠ODP=∠OCP，
∵BC⊥AC，
∴∠OCP=90°，
∴OD⊥AP，
∴PD是⊙O的切線．
（2）連接CD．由（1）可知：PC=PD，
∵AM=MC，
∴AM=2MO=2R，
在Rt△AOD中，OD2+AD2=OA2，
∴R2+122=9R2，
∴R=3
，
∴OD=3
，MC=6
，
∵
=
=
，
∴DP=6，
∵O是MC的中點，
∴
=
=
，
∴點P是BC的中點，
∴BP=CP=DP=6，
∵MC是⊙O的直徑，
∴∠BDC=∠CDM=90°，
在Rt△BCM中，∵BC=2DP=12，MC=6
，
∴BM=6
，
∵△BCM∽△CDM，
∴
=
，即
=
，
∴MD=2
，
∴
=
=
．
【點評】本題考查相似三角形的判定和*質、圓周角定理、切線的判定和*質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造相似三角形解決問題，屬於中考常考題型．
知識點：各地中考
題型：解答題
