問題詳情:
已知某單位*、乙、*三個部門的員工人數分別爲24,16,16.現採用分層抽樣的方法從中抽取7人,進行睡眠時間的調查.
(I)應從*、乙、*三個部門的員工中分別抽取多少人?
(II)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,現從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體檢查.
(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數,求隨機變量X的分佈列與數學期望;
(ii)設A爲事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的員工,也有睡眠不足的員工”,求事件A發生的概率.
【回答】
(Ⅰ)從*、乙、*三個部門的員工中分別抽取3人,2人,2人.(Ⅱ)(i)*見解析;(ii).
【解析】
分析:(Ⅰ)由分層抽樣的概念可知應從*、乙、*三個部門的員工中分別抽取3人,2人,2人.
(Ⅱ)(i)隨機變量X的所有可能取值爲0,1,2,3.且分佈列爲超幾何分佈,即P(X=k)=(k=0,1,2,3).據此求解分佈列即可,計算相應的數學期望爲.
(ii)由題意結合題意和互斥事件概率公式可得事件A發生的概率爲.
詳解:(Ⅰ)由已知,*、乙、*三個部門的員工人數之比爲3∶2∶2,
由於採用分層抽樣的方法從中抽取7人,
因此應從*、乙、*三個部門的員工中分別抽取3人,2人,2人.
(Ⅱ)(i)隨機變量X的所有可能取值爲0,1,2,3.
P(X=k)=(k=0,1,2,3).
所以,隨機變量X的分佈列爲
X | 0 | 1 | 2 | 3 |
P |
隨機變量X的數學期望.
(ii)設事件B爲“抽取的3人中,睡眠充足的員工有1人,睡眠不足的員工有2人”;
事件C爲“抽取的3人中,睡眠充足的員工有2人,睡眠不足的員工有1人”,
則A=B∪C,且B與C互斥,
由(i)知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1),
故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=.
所以,事件A發生的概率爲.
點睛:本題主要在考查超幾何分佈和分層抽樣.超幾何分佈描述的是不放回抽樣問題,隨機變量爲抽到的某類個體的個數.超幾何分佈的特徵是:①考查對象分兩類;②已知各類對象的個數;③從中抽取若干個個體,考查某類個體個數X的概率分佈,超幾何分佈主要用於抽檢產品、摸不同類別的小球等概率模型,其實質是古典概型.進行分層抽樣的相關計算時,常利用以下關係式巧解:(1) ;(2)總體中某兩層的個體數之比=樣本中這兩層抽取的個體數之比.
知識點:統計案例
題型:解答題